Если каждой точке X = (х 1 , х 2 , …х n) из множества {X} точек n–мерного пространства ставится в соответствие одно вполне определенное значение переменной величины z, то говорят, что задана функция n переменных z = f(х 1 , х 2 , …х n) = f (X).
При этом переменные х 1 , х 2 , …х n называют независимыми переменными или аргументами функции, z - зависимой переменной , а символ f обозначает закон соответствия . Множество {X} называют областью определения функции (это некое подмножество n-мерного пространства).
Например, функция z = 1/(х 1 х 2) представляет собой функцию двух переменных. Ее аргументы – переменные х 1 и х 2 , а z – зависимая переменная. Область определения – вся координатная плоскость, за исключением прямых х 1 = 0 и х 2 = 0, т.е. без осей абсцисс и ординат. Подставив в функцию любую точку из области определения, по закону соответствия получим определенное число. Например, взяв точку (2; 5), т.е. х 1 = 2, х 2 = 5, получим
z = 1/(2*5) = 0,1 (т.е. z(2; 5) = 0,1).
Функция вида z = а 1 х 1 + а 2 х 2 + … + а n х n + b, где а 1 , а 2 ,…, а n , b - по стоянные числа, называют линейной . Ее можно рассматривать как сумму n линейных функций от переменных х 1 , х 2 , …х n . Все остальные функции называют нелинейными .
Например, функция z = 1/(х 1 х 2) – нелинейная, а функция z =
= х 1 + 7х 2 - 5 – линейная.
Любой функции z = f (X) = f(х 1 , х 2 , …х n) можно поставить в соответствие n функций одной переменной, если зафиксировать значения всех переменных, кроме одной.
Например, функции трех переменных z = 1/(х 1 х 2 х 3) можно поставить в соответствие три функции одной переменной. Если зафиксировать х 2 = а и х 3 = b то функция примет вид z = 1/(аbх 1); если зафиксировать х 1 = а и х 3 = b, то она примет вид z = 1/(аbх 2); если зафиксировать х 1 = а и х 2 = b, то она примет вид z = 1/(аbх 3). В данном случае все три функции имеют одинаковый вид. Это не всегда так. Например, если для функции двух переменных зафиксировать х 2 = а, то она примет вид z = 5х 1 а, т.е. степенной функции, а если зафиксировать х 1 = а, то она примет вид , т.е. показательной функции.
Графиком
функции двух переменных z = f(x, у) называется множество точек трёхмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением
z = f (x, у). Этот график представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве (например, как на рисунке 5.3).
Можно доказать, что если функция – линейная (т.е. z = ax + by + c), то ее график представляет собой плоскость в трехмерном пространстве. Другие примеры трехмерных графиков рекомендуется изучить самостоятельно по учебнику Кремера (стр. 405-406).
Если переменных больше двух (n переменных), то график функции представляет собой множество точек (n+1)-мерного пространства, для которых координата х n+1 вычисляется в соответствии с заданным функциональным законом. Такой график называют гиперповерхностью (для линейной функции – гиперплоскостью ), и он также представляет собой научную абстракцию (изобразить его невозможно).
Рисунок 5.3 – График функции двух переменных в трехмерном пространстве
Поверхностью уровня функции n переменных называется множество точек в n–мерном пространстве, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Само число С в этом случае называется уровнем .
Обычно для одной и той же функции можно построить бесконечно много поверхностей уровня (соответствующих различным уровням).
Для функции двух переменных поверхность уровня принимает вид линии уровня .
Например, рассмотрим z = 1/(х 1 х 2). Возьмем С = 10, т.е. 1/(х 1 х 2) = 10. Тогда х 2 = 1/(10х 1), т.е. на плоскости линия уровня примет вид, представленный на рисунке 5.4 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 5, получим линию уровня в виде графика функции х 2 = 1/(5х 1) (на рисунке 5.4 показана пунктиром).
Рисунок 5.4 - Линии уровня функции z = 1/(х 1 х 2)
Рассмотрим еще один пример. Пусть z = 2х 1 + х 2 . Возьмем С = 2, т.е. 2х 1 + х 2 = 2. Тогда х 2 = 2 - 2х 1 , т.е. на плоскости линия уровня примет вид прямой, представленный на рисунке 5.5 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 4, получим линию уровня в виде прямой х 2 = 4 - 2х 1 (на рисунке 5.5 показана пунктиром). Линия уровня для 2х 1 + х 2 = 3 показана на рисунке 5.5 точечной линией.
Легко убедиться, что для линейной функции двух переменных любая линия уровня будет представлять собой прямую на плоскости, причем все линии уровня будут параллельны между собой.
Рисунок 5.5 - Линии уровня функции z = 2х 1 + х 2
Определение функции нескольких переменных
Рассматривая функции одной переменной, мы указывали, что при изучении многих явления приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.
Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у , выражается формулой S = ху . Каждой паре значений х и у соответствует определенное значение площади S ; S есть функция двух переменных.
Пример 2. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны х , у , z , выражается формулой V = xyz . Здесь V есть функция трех переменных х , у , z .
Пример 3.
Дальность R
полета снаряды, выпущенного с начальной скоростью v
0 из орудия, ствол которого наклонен к горизонту под углом , выражается формулой 
(если пренебречь сопротивлением воздуха). Здесьg
– ускорение силы тяжести. Для каждой пары значений v
0 и эта формула дает определенное значение R
, т.е. R
является функцией двух переменных v
0 и .
Пример 4.
. Здесьи
есть функция четырех переменных х
, у
, z
, t
.
Определение 1. Если каждой паре (х , у ) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области их изменения D , соответствует определенное значение величины z , то мы говорим, что z есть функция двух независимых переменных х и у , определенная в области D .
Символически функция двух переменных обозначается так:
z = f (x , y ), z = F (x , y ) и т.д.
Функция двух переменных может быть задана, например, с помощью таблицы или аналитически – с помощью формулы, как это сделано в рассмотренных выше примерах. На основании формулы можно составить таблицу значений функции для некоторых пар значений независимых переменных. Так, для первого примера можно составить следующую таблицу:
S = ху
В этой таблице на пересечении строки и столбца, соответствующих определенным значениям х и у , проставлено соответствующее значение функции S . Если функциональная зависимость z = f (x , y ) получается в результате измерений величины z при экспериментальном изучении какого-либо явления, то сразу получается таблица, определяющая z как функцию двух переменных. В этом случае функция задается только таблицей.
Как и в случае одной независимой переменной, функция двух переменных существует, вообще говоря, не при любых значениях х и у .
Определение 2. Совокупность пар (х , у ) значений х и у , при которых определяется функция z = f (x , y ), называется областью определения или областью существования этой функции.
Область определения функции наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений х и у мы будем изображать точкой М (х , у ) в плоскости Оху , то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости. Эту совокупность точек будем также называть областью определения функции. В частности, областью определения может быть и вся плоскость. В дальнейшем мы будем главным образом иметь дело с такими областями, которые представляют собой части плоскости , ограниченные линиями . Линию, ограничивающую данную область, будем называть границей области. Точки области, не лежащие на границе, будем называть внутренними точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой . Если же к области относятся и точки границы, то область называется замкнутой . Область называется ограниченной, если существует такая постоянная С , что расстояние любой точки М области от начала координат О меньше С , т.е. |OM | < С .
Пример 5. Определить естественную область определения функции
z = 2х – у .
Аналитическое выражение 2х – у имеет смысл при любых значениях х и у . Следовательно, естественной областью определения функции является вся плоскость Оху .
Пример 6.
.
Для того чтобы z имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т.е. х и у должны удовлетворять неравенству 1 – х 2 – у 2 0, или х 2 + у 2 1.
Все точки М (х , у ), координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга.
Пример 7.
.
Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно удовлетворяться неравенство х + у > 0, или у > х .
Это значит, что областью определения функции z является половина плоскости, расположенная над прямой у = х , не включая самой прямой.
Пример 8. Площадь треугольника S представляет собой функцию основания х и высоты у : S = xy /2.
Областью определения этой функции является область х 0, у 0 (так как основание треугольника и его высота не могут быть ни отрицательны, ни нулем). Заметим, что область определения рассматриваемой функции не совпадает с естественной областью определения того аналитического выражения, с помощью которого задается функция, так как естественной областью определения выражения ху/ 2 является, очевидно, вся плоскость Оху .
Определение функции двух переменных легко обобщить на случай трех или более переменных.
Определение 3. Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных х , у , z , …, u , t соответствует определенное значение переменной w , то будем называть w функцией независимых переменных х , у , z , …, u , t и писать w = F (х , у , z , …, u , t ) или w = f (х , у , z , …, u , t ) и т.п.
Так же как и для функции двух переменных, можно говорить об области определения функции трех, четырех и более переменных.
Так, например, для функции трех переменных областью определения является некоторая совокупность троек чисел (х , у , z ). Заметим тут же, что каждая тройка чисел задает некоторую точку М (х , у , z ) в пространстве Оху z . Следовательно, областью определения функции трех переменных является некоторая совокупность точек пространства.
Аналогично этому можно говорить об области определения функции четырех переменных u = f (x , y , z , t ) как о некоторой совокупности четверок чисел (x , y , z , t ). Однако область определения функции четырех или большего числа переменных уже не допускает простого геометрического истолкования.
В примере 2 приведена функция трех переменных, определенная при всех значениях х , у , z .
В примере 4 приведена функция четырех переменных.
Пример 9. .
Здесь w – функция четырех переменных х , у , z , и , определенная при значениях переменных, удовлетворяющих соотношению:
Понятие функции нескольких переменных
Введем понятие функции нескольких переменных.
Определение 1. Пусть каждой точке М из множества точек {М } евклидова пространства E m по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число и из числового множества U. Тогда будем говорить, что на множестве {М } задана функция и = f(M). При этом множества {М } и U называются соответственно областью определения (задания) и областью изменения функции f(M).
Как известно, функция одной переменной у = f (x ) изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения {М п } функции z = f(x, y) представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оху (рис. 8.1). Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве E 3 . Аналогичным образом функция от т переменных
определенная на множестве {М } евклидова пространства Е m , представляет собой гиперповерхность в евклидовом пространстве Е m+1 .
Некоторые виды функций нескольких переменных
Рассмотрим примеры функций нескольких переменных и найдем их области определения.
Е
3
.
Областью определения этой функции является все множество точек плоскости Оху.
Область значений этой функции - промежуток X;
private double[,] Y;
private double[,] Z;
// Список изолиний
public List
Для демонстрации работы класса предлагается небольшое тестовое приложение WPF, которое строит линии уровня для функции вида: z = x^2 + y^2 на сетке 10 на 10.
Файл MainWindow.xaml:
И файл кода MainWindow.xaml.cs:
Using System.Linq;
using System.Windows;
using System.Windows.Controls;
using System.Windows.Media;
using System.Windows.Shapes;
namespace WpfLinesLevels
{
///
Результат работы тестового примера представлен на рисунке.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пусть: z - переменная величина с областью изменения R; R- числовая прямая; D - область на координатной плоскости R2.
Любое отображение D->R называют функцией двух переменных с областью определения D и пишут z = f(x;y).
Другими словами:
Если каждой паре (х; у) двух независимых переменных из области D по некоторому правилу ставится в соответствие одно определенное значение z из R, то переменную величину z называют функцией двух независимых переменных х и у с областью определения D и пишут
http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">
П р и м е р 1.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">
Область определения – есть часть плоскости, лежащая внутри круга радиуса г = 3 , с центром в начале координат, см. рисунок.
П р и м е р 3. Найти и изобразить область определения функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">
2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ
ПЕРЕМЕННЫХ
2.1.График функции двух переменных
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и область D на плоскости хОу. В каждой точке М(х;у) из этой области восстановим перпендикуляр к плоскости хОу и отложим на нем значение z = f(x; у). Геометрическое место полученных точек
http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">
Это окружности с центром в начале координат, радиусом R = C1/2 и уравнением
x2 + y2 = R2, см. рисунок.
Линии уровня позволяют представить рассматриваемую поверхность, дающую в сечении плоскостями z = C концентрические окружности.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> и найти .
Решение. Воспользуемся методом сечений.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– в плоскости – парабола.
– в плоскости –парабола.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src=">– окружность.
Искомая поверхность – параболоид вращения.
Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число
http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> называется открытым кругом радиуса с центром в точке r.
Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется - ε - окрестностью точки А.
3адание
Найти и изобразить графически область определения функции:
Построить линии уровня функций:
3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных.
О п р е д е л е н и е:
Постоянное число А называется пределом функции двух переменных z = f(x;у) при х -> х0, у -> у0, если для любого
ε >0 существует δ >0 такое, что |f(х; у) - А| < ε , как только
|x - x0| < δ и |у – у0| < δ.
Этот факт обозначается так:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.
П р и м е р 1. Найти .
Решение. Пусть стремление к предельной точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. Тогда
http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> зависит от .
П р и м е р 2. Найти .
Решение. По любой прямой предел один и тот же:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Тогда
http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (остальное – по аналогии).
О п р е д е л е н и е.
Число называют пределом
функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство 
. Этот факт коротко записывают так:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;
http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,
где предельная точка http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> с областью определения и пусть – предельная точка множества , т. е точка, к которой стремятся аргументы х и у .
О п р е д е л е н и е 1. Говорят, что функция непрерывна в точке, если:
1) ;
2) 
, т. е. 
.
Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24">непрерывна в точке, если выполняется равенство
http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="15 height=16" height="16"> придадим произвольное приращение . Функция получит частное приращение по х
http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> является функцией одной переменной . Аналогично,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> называется непрерывной в точке по переменной (по переменной ), если
http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).
Теорема. Если функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.
Обратное утверждение неверно.
П р и м е р. Докажем, что функция
непрерывна в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24"> в точке , соответствующее приращению http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, а это означает, что непрерывна в точке по переменной .
Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной .
Покажем, что предел не существует. Пусть точка стремиться к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получим
.
Таким образом, приближаясь к точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20">, получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">
Другие обозначения
http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">
Другие обозначения
http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.
Решение . Имеем:
, 
П р и м е р 2.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">
П р и м е р 3. Найти частные производные функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">
Пример 4. Найти частные производные функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">
5.2. Дифференциалы первого порядка функции двух переменных
Частные дифференциалы функции z = f(x, у) по переменным х и у определяются, соответственно по формулам х(x;y) и f"у{x;y) существуют в точке (х0;у0) и в некоторой ее окрестности и непрерывны в этой точке, то по аналогии с функцией одной переменной устанавливается формула для полного приращения функции двух переменных
http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">
где http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">
Другими словами, функция z = f(x, y) дифференцируема в точке, (х, у), если ее приращение Δz эквивалентно функции: 
Выражение
http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">
С учетом того, что Δх = dx, Δy=dy:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно, т. е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. Покажем это.
П р и м е р. Найдем частные производные функции http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.
Полученные формулы теряют смысл в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> не имеет частных производных в точке . В самом деле, 
. Эта функция одной переменной , как известно, не имеет производной в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> в точке не существует. Аналогично, не существует частная производная . При этом функция 
, очевидно, непрерывна в точке .
Итак, мы показали, что непрерывная функция может не иметь частных производных. Осталось установить связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.
5.4. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.
Теорема 1. Необходимое условие дифференцируемости.
Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке M(x, y), то она имеет в точке M частные производные по каждой переменной и .
Обратная теорема не верна, т. е. существование частных производных является необходимым, но не является достаточным условием дифференцируемости функции.
Теорема 2. Достаточное условие дифференцируемости. Если функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в точке (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой http://pandia.ru/text/78/481/images/image130.gif" width="101 height=29" height="29">
Пример 2. Вычислить 3,021,97
3адание
Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
5.6. Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная.
Случай 1.
z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)
Функции u и v непрерывные функции от аргументов х, у.
Таким образом, функция z есть сложная функция от аргументов х и у: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))
Предположим, что функции f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.
Поставим задачу вычислить http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.
Дадим аргументу x приращение Δx, фиксируя значение аргумента y. Тогда функции двух переменных u= φ(x, y) и
v= φ(x, y) получат частные приращения Δxu и Δxv. Следовательно, z=f(u, v) получит полное приращение, определяемое в п.5.2 (дифференциалы первого порядка функции двух переменных):
http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">
Если xu→ 0, то Δxu → 0 и Δxv → 0 (в силу непрерывности функций u и v). Переходя к пределу при Δx→ 0, получим:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)
П р и м е р.
Z=ln(u2+v), u=ex+y ² , v=x2 + y;
http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.
Тогда по формуле (*) получим:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.
Для получения окончательного результата в две последние формулы вместо u и v необходимо подставить еx+y² и x2+y, соответственно.
Случай 2.
Функции х и у непрерывные функции.
Таким образом, функция z=f(x, у) зависит через посредство х и у от одной независимой переменной t, т. е. допустим, что х и у суть не независимые переменные, но функции независимой переменной t, и определим производную http://pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">
Разделим обе части этого равенства на Δt:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)
Случай 3.
Предположим, теперь, что роль независимой переменной t играет переменная х, т. е. что функция z=f(x, у) зависит от независимой переменной х как непосредственно, так и через посредство переменной у, которая является непрерывной функцией от х.
Принимая во внимание, что http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)
Производная x(x, у)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.
Находим частные производные
http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">
Доказанное правило дифференцирования сложных функций применяется для нахождения производной, неявной функции.
Производная от функции, заданной неявно.
Положим, что уравнение
определяет у как неявную функцию от х, имеющую производную
у’ = φ’(x)_
Подставляя у = φ (х) в уравнение F(x, y) = 0, мы должны были бы получить тождество 0 = 0, так как у = φ(х) есть решение этого уравнения. Мы видим, таким образом, что постоянную нуль можно рассматривать как сложную функцию от х, которая зависит от х как непосредственно, так и через посредство у =φ(х).
Производная по х от этой постоянной должна равняться нулю; применяя правило (***), получим
F’x(x, y) + F’y(x, y)·y’ = 0,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">
Следовательно,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> справедливо как для одной, так и для другой функции.
5.7. Полный дифференциал первого порядка. Инвариантность формы дифференциала первого порядка
Подставим выражения для http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> определенные равенствами (*) (см. случай 1 в п.5.6 «Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная») в формулу полного дифференциала
Gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="140" height="44 src=">
Тогда формула полного дифференциала первого порядка функции двух переменных имеет вид
http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">
Сравнивая последнее равенство с формулой для первого дифференциала функции двух независимых переменных, можем сказать, что выражение полного дифференциала первого порядка функции нескольких переменных имеет тот же вид, которое он имел бы, если бы u и v были бы независимыми переменными.
Иначе говоря, форма первого дифференциала инвариантна, то есть не зависит от того, являются ли переменные u и v независимыми переменными, или зависят от других переменных.
П р и м е р.
Найти полный дифференциал первого порядка сложной функции
z=u2v3, u=x2·sin y , v=x3·ey.
Р е ш е н и е. По формуле для полного дифференциала первого порядка имеем
dz = 2uv3·du+3u2v2·dv =
2uv3·(2x·siny ·dx+x2·cosy ·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).
Это выражение можно переписать так
dz=(2uv3·2x·siny+3u2v2·3x2·ey)·dx+(2uv3x2·cosy+3u2v2x3·ey)·dy=
Свойство инвариантности дифференциала позволяет распространить правило нахождения дифференциала суммы, произведения и частного на случай функции от нескольких переменных:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Эта
функция будет однородной третьей степени при всех вещественных х, у и t. Такой же функцией будет и любой однородный многочлен от х и у третьей степени, т. е. такой многочлен, в каждом члене которого сумма показателей хну равна трем:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">
суть однородные функции степеней соответственно 1, 0 и (- 1)..jpg" width="36" height="15">. Действительно,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">
Полагая t=1, находим
http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">
Частные производные http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), вообще го-
воря, являются функциями переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, частных производных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций и можно дифференцировать как по х, так и по у.
Вторые частные производные обозначают так:
есть производная n - го порядка; здесь функция z сначала р раз дифференцировалась по х, а потом n - р раз по у.
Для функции любого числа переменных частные производите высших порядков определяются аналогично.
П р и м е р 1. Вычислить частные производные второго порядка от функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">
П р и м е р 2. Вычислить и http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">
П р и м е р 3. Вычислить , если
http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">
x, f"y, f"xy и f"yx определены и непрерывны в точке М(х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке
http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 height=28" height="28">.jpg" width="523" height="128 src=">
Следовательно,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">
Решение.
Смешанные производные равны.
5.10. Дифференциалы высших порядков функции n переменных .
Полный дифференциал du функции от нескольких переменных есть в свою очередь функция тех же переменных, и мы можем определить полный дифференциал этой последней функции. Таким образом, мы получим дифференциал второго порядка d2u первоначальной функции и, который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет нас к дифференциалу третьего порядка d3u первоначальной функции и т. д.
Рассмотрим подробнее случай функции u=f(x, у) двух переменных х и у и будем предполагать, что переменные х и у суть независимые переменные. По определению
http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">
Вычисляя точно так же d3u, мы получим
http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-
причем формулу эту надо понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, надо возвести в степень n, применяя Формулу бинома Ньютона, после чего показатели степеней у и http://pandia.ru/text/78/481/images/image235.jpg" width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> с направляющими косинусами cos α, cos β (α + β = 90°). На векторе рассмотрим точку М1(х + Δх; у + Δу). При переходе от точки М к точке М1 функция z = f(x; у) получит полное приращение
http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> стремящемся к нулю (см. рис.).
http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">
где http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src=">, а потому получаем:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> при Δs->0 называется произ-
водной функции z = f(х; у) в точке (х; у) по направлению вектора и обозначается
http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)
Таким образом, зная частные производные функции
z = f(x; у) можно найти производную этой функции по любому направлению, а каждая частная производная является частным случаем производной по направлению.
П р и м е р. Найти производную функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 height=62" height="62">
Следовательно, функция z = f(x;y) в данном направлении возрастает.
5. 12 . Градиент
Градиентом функции z = f(x; у) называется вектор , координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">
т. е..jpg" width="89" height="33 src=">
в точке М(3;4).
Р е ш е н и е.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">
Определение . Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений (х х , х 2 ,..., х п ) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = f (х х , х 2 ,..., х п ) .
Переменные х х , х 2 ,..., х п называются независимыми переменными или аргументами, z - зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции. Очевидно, это подмножество n-мерного пространства.
Функцию двух переменных обозначают z=f(x, у) . Тогда ее область определения X есть подмножество координатной плоскости Оху .
Окрестностью точки
называется
круг, содержащий точку
(см.
рис. 1).
Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интервала на прямой.
При изучении функций
нескольких переменных используется
математический аппарат: любой функции
z
=
f
(x
,
у)
можно поставить
в соответствие пару функций одной
переменной: при фиксированном значении
х=х
0
функцию z
=
и при фиксированном
значении у=у
0
функцию z
=
f
(x
,
у
0
).
Графиком функции двух
переменных
z
=
называется множество
точек трехмерного пространства (х, у,
z), аппликата z
которых связана с абсциссой х
и ординатой у
функциональным соотношением z
=
.
Для построения графика
функции z=f(x, у)
полезно рассматривать функции одной
переменной z
=
f
(x
,
у
0
)
и z
=
,
представляющие сечения
графика z
=
f
(x
,
у)
плоскостями,
параллельными координатным плоскостям
Oxz
и
Oyz
,
т.е. плоскостями у=
у
0
и х=х
0
.
Пример 1. Построить график
функции
.
Решение. Сечения поверхности
=
плоскостями,
параллельными координатным плоскостямOyz
и Oxz
,
представляют параболы (например,
при х = 0
,
при у = 1
и
т.д.). В сечении поверхности кординатной
плоскостьюОху
,
т.е. плоскостью z=0
,
получается окружность
График
функции представляет поверхность,
называемую параболоидом (см. рис. 2)
Определение . Линией уровня функции двух переменных z=f{x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Число С в этом случае называется уровнем.
На рис.3 изображены линии
уровня, соответствующие значениям
С=1 и С=2. Как видно, линия уровня
состоит из двух непересекающихся
кривых. Линия
– самопересекающаяся кривая.
Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели и меридианы на глобусе - это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм - линий уровня температуры.
Пример 2. Построить линии
уровня функции
.
Решение. Линия уровня z
=
C
это кривая на плоскости
Оху,
задаваемая
уравнением х
2
+ у
2
- 2у
= С
или х
2
+ (у -
I) 2
= С+1. Это уравнение окружности с центром
в точке (0; 1) и радиусом
(рис.
4).
Точка (0; 1) - это вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению функции z =-1 и достигающемуся в точке (0; 1). Линии уровня - концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом z = C , причем расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра. Линии уровня позволяют представить график данной функции, который был ранее построен на рис. 2.
Частные производные
Дадим аргументу х приращение ∆х, аргументу у - приращение ∆у. Тогда функция z получит наращенное значение f(х+∆х, у+∆у). Величина ∆ z = f (x +∆ x , y +∆ y )- f { x , у) называется полным приращением функции в точке (х; у). Если задать только приращение аргумента x или только приращение аргумента у, то полученные приращения функции соответственно иназываютсячастными.
Полное приращение функции,
вообще говоря, не равно сумме частных,
т.е.
Пример 15.6. Найти частные и полное приращения функции z = xy .
Решение. ;;.
Получили, что
Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).
Обозначается частная
производная так:
или
,
или
.
Для нахождения производной
надо
считать постоянной переменную у, а для
нахождения
-переменную х.
При
этом сохраняются известные правила
дифференцирования.
Пример. Найти частные производные функции:
a)
z
=
x
ln
y
+
.
Решение: Чтобы найти частную
производную по х,
считаем у
постоянной величиной.
Таким образом,
.
Аналогично, дифференцируя
по у,
считаем
х
постоянной
величиной, т.е
.
Дифференциал функции
Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.
dz
=
.
(1)
Учитывая, что для функций
f(х,
у)=х,
g
(x
,
у)=у
согласно (1)
df
=
dx
=∆
x
;
dg
=
dy
=∆
y
формулу дифференциала
(1) можно записать в виде dz
=
z
"
x
dx
+
z
"
y
dy
(2)
или
Определение.
Функция
z
=
f
(x
,
у) называется
дифференцируемой
в точке (х, у), если
ее полное приращение может быть
представлено в виде
(3),
где
dz
- дифференциал
функции,
–
,бесконечно малые при
.
Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных.
Теорема. Если частные производные функции z " v (x , у) существуют в окрестности точки (х, у) и непрерывны в самой точке (х, у), то функция z = f { x , у) дифференцируема в этой точке.
Инструкция
При построении линий уровня исходите из того, что они являются проекциями на плоскость с нулевой аппликатой линий пересечения графика заданной функции с некоторой горизонтальной плоскостью. Аппликата этой плоскости сечения и является константой, к которой нужно приравнять уравнение функции, чтобы получить координаты точек линии. Она может меняется с заданным в условиях задачи шагом, если построить требуется набор линий. А если построить нужно всего одну линию уровней, в условиях могут быть даны координаты точки лежащей на ней. Графики с этой страницы можно сохранить или отредактировать в интерактивном режиме.
Приведите заданную в условиях задачи функцию к виду f(x,y) = const. Например, если дана z = x² + y² - 4*y, ее можно записать в альтернативной форме, чтобы лучше представить форму графика функции, и приравнять к константе c: c+4 = x²+(y-2)². Объемный график такой функции представляет собой бесконечный , а все его сечения горизонтальной плоскостью, поднятой на разные , (т.е. искомые линии уровней) будут концентрическими кругами с радиусом, определяемым по формуле √(c+4).
Подставьте вместо константы c заданное в условиях значение для линии уровня. Если оно не дано - выберите сами, исходя из области значений функции. Например, для приведенного выше примера минимальным значением константы может быть число -4. Константу можно приравнять к 5 и в этом случае графиком функции будет круг с радиусом √(5+4) = 3 и центром в точке с абсциссой, равной 0 и ординатой, равной 2.
Если нужно построить несколько линий уровней, повторите предыдущий шаг нужное число раз.
В интернете можно найти сервисы, которые помогут с построением линий уровней. Например, ниже приведена ссылка на сервис WolframAlpha. В поле ввода на его странице введите формулу функции и щелкните по кнопке со значком равенства. Использованную в примере функцию z = x² + y² - 4*y надо вводить в таком виде: x^2+y^2-4*y. Через несколько секунд на странице появятся двух- и трехмерные цветные графики с линиями уровней, а также фигуры, описываемой формулой, альтернативные формы ее записи и другие функции, которые можно использовать при построении линий уровней.
Источники:
- Сервис WolframAlpha
Не каждому хочется быть семейным деспотом, но даже самые робкие и самодостаточные люди нуждаются в том, чтобы к их мнению хотя бы прислушивались. Как правильно выстроить линии влияния ? Влиять можно только на того, кто в чем-либо нуждается, поэтому рассмотрим, как использовать потребности партнера для получения от него желаемого, используя пирамиду Маслоу.
Инструкция
В основе сферы потребностей человека лежат потребности , это в первую очередь жажда, голод и половое влечение. Партнеров дрессируют как собаку Павлова при использовании всех методов, но этот метод наименее тонкий. Так, некоторые жены в молодости лишают мужа близких отношений за малейшую провинность, то же делают мужья в более по отношению к , которые не угодили. Однако гораздо эффективнее использовать этот метод положительно, то есть в ответ на уступки дарить любимому пьянящую, феерическую близость.
Выше в иерархии стоит потребность в безопасности. Каждый человек хочет жить комфортно, со стабильным укладом жизни, ничего не опасаясь. Когда обиженная жена вдруг отказывается готовить для мужа, она неосознанно ломает его бытовые привычки, причиняя боль. Это не всегда разумная политика, в негативных ситуациях лучше вести себя нейтрально, а малейшие позитивные изменения вознаграждать любимым блюдом мужа или тем, с которым у вас связаны романтические ассоциации.
Следующие два уровня рассмотрим вместе, потому что они близки по смыслу – это потребности в уважении и любви. Оскорбления больно ранят, а известный вопрос «Ты меня ?» с последующими попытками манипулировать изрядно портят кровь и мужчинам, и женщинам. А ведь на этом уровне многие люди очень зависимы и уязвимы. Поощрение правильного поведения достигается путем искренних похвал, особенно при посторонних, нежных прикосновений и влюбленных взглядов.
Венчает пирамиду потребность в самореализации. Неправильное поведение здесь – высмеивание вкусов, духовных нужд и стремлений любимого. После каждого нужного Вам решения не скупитесь на знаки внимания к творчеству партнера. Это может проявляться в мелочах, например,вы смеетесь над его удачными шутками и пересказываете их другим людям со ссылкой на автора. Также хорошо создавать любимому человеку условия для творчества в той сфере, где он действительно талантлив.
Конечно, можно добиваться поставленных задач путем лишения партнера необходимого. Но по-настоящему укрепить и обогатить отношения можно только стараясь удовлетворить потребности близкого человека по высшему классу. Беззаветная и неэгоистичная любовь поможет Вам угадать, в отдельно взятой ситуации.
Видео по теме
Обратите внимание
Пользуясь свойством линейности задачи, соединяем эти точки так называемой переходной прямой. Линия влияния, составленная из двух построенных ветвей графика S3−4 (x) и переходной прямой образуют линию влияния усилия S3−4 , означающую зависимость этого усилия от места положения единичной нагрузки (рис. 97). Строим линию влияния усилия в стойке 3-8 при движении единичного груза понизу.
Источники:
- Кинематический метод построения линий влияния в балке в 2019
Мир, который нас всех окружает, имеет три измерения, а вот лист бумаги или холст, на котором мы пытаемся изобразить окружающую реальность, увы, всего-навсего двухмерный. Для того, чтобы изображаемые нами объекты казались максимально объёмными и реалистичными, нужно соблюдать определенные правила и верно выстраивать перспективу .
Вам понадобится
- лист бумаги, карандаш, линейка
Инструкция
Далее определяем, где относительно линии горизонта будет располагаться предмет. Если он находится на уровне глаз (то есть на линии горизонта), то мы смотрим на предмет прямо. Если предмет выше линии горизонта, мы смотрим на него снизу, соответственно, в этом случае становится видно нижнюю часть . Если же предмет поместить ниже линии горизонта, то видимой окажется верхняя часть. Строим предмет, проверяем при помощи линейки, чтобы все параллельные линии сходились в одной точке.
Видео по теме
Обратите внимание
Также при построении преспективы нужно помнить не только о том, что все параллельные прямые сходятся в одной точке, но и о том, что по мере удаления все изображаемые предметы уменьшаются. Сильно удаленные предметы и вовсе превращаются в точки.
В последнее время кровельные материалы с прозрачным покрытием все чаще используются при строительстве гаражей. Преимущество прозрачной крыши состоит в том, что она пропускает большое количество дневного света, а уровень освещения позволяет работать без дополнительного искусственного освещения.
Вам понадобится
- - рулетка;
- - фломастер;
- - дрель;
- - шурупы;
- - шуруповерт;
- - прозрачный пластик;
- - уплотнительные кольца;
- - герметик;
- - профилированный пенопласт.
Инструкция
Замерьте крыши с помощью рулетки. Разметьте кровельное покрытие так, чтобы его листы ложились внахлест. Ширина нахлеста – полтора сантиметра. Отметьте линию среза цветным фломастером. Учтите, что торец должен примыкать к кромке под углом 90 градусов.
Просверлите в листах пластика отверстия под шурупы. Диаметр отверстия должен быть больше диаметра метизов на 4 мм. Закрепите на с помощью шурупов. Крепления должны находиться на каждом втором гребне рельефного листа. Пластик – достаточно хрупкий материал, поэтому в процессе его крепления ограничьте механическое воздействие. Рекомендуется использовать – шуруповерт.
При монтаже кровельного покрытия необходимо установить уплотнительные кольца и пластмассовые колпачки между и стенами. В качестве дополнительного уплотнителя можно использовать профилированный , который крепится с помощью шурупов в сквозных отверстиях.
Видео по теме
Обратите внимание
Крыша гаража будет смотреться правильно и красиво лишь в том случае, если стропильные рамы имеют одинаковую форму и правильно выставлены. Поэтому при производстве подготовительных и кровельных работ следует использовать шаблоны. В качестве такого шаблона используется первая сборная рама.
Чтобы в процессе резки прозрачное покрытие не смещалось, его нужно зажать инструментом, используя деревянные дощечки в качестве прокладок. Пластиковое кровельное покрытие лучше резать пилой с мелкими зубьями. Инструмент нужно слегка наклонить и работать им без нажима. В противном случае ножовочное полотно заклинит.
Источники:
- Устройство разных видов крыш гаражей в 2019
С наступлением лета хочется изменить свой гардероб, добавить в него новые краски и фасоны. Не обязательно для этого идти в магазин - некоторые модели одежды можно сшить самостоятельно. Одним из самых простых в изготовлении предметов одежды по праву считается сарафан. Достаточно выбрать хорошую легкую ткань, сделать выкройку и сшить все детали вместе.
Вам понадобится
- - бумага;
- - карандаш;
- - сантиметровая лента;
- - линейка;
- - ножницы.
Инструкция
Возьмите сантиметровую ленту и измерьте следующие расстояния: ДСП – длина спины до талии, ДСБ – длина спины до бедер, ПГ – расстояние от плеча до верхней точки груди, ОТ – объем талии, ОБ – объем бедер, ОГ – объем груди, ВТ – расстояние между верхними точками груди, ДИ – длина изделия (от плеча до подола).
Возьмите большой лист бумаги (лучше специальной бумаги для выкроек с миллиметровой разметкой) и начертите прямоугольник, длина которого равна ДИ, а ширина равна четверти ОГ. Если ваш объем бедер больше, чем объем груди, ширина прямоугольника должна быть равна четверти ОБ. Это будет половинка переда. Cразу отметьте одну из вертикальных сторон как середину.
Найдите линию талии, груди и бедер. Для этого от верхней границы прямоугольника отмерьте расстояния, равные ПГ, ДСТ, и ДСБ и проведите на этом уровне горизонтальные линии.
Найдите верхнюю точку груди. Для этого по линии груди от середины переда отмерьте половину ВТ. Проведите от этой точки вертикальную черту через весь прямоугольник.
В месте пересечения этой черты с линией талии сделайте вытачку, для этого вправо и влево от точки пересечения отложите по 2 – 4 см. Соедините эти две точки с верхней точкой груди и с линией бедер. У вас должен получиться длинный вертикальный ромб. Вторую вытачку сделайте вдоль бокового шва (получится половина ромба).
Оформите верхнюю часть сарафана по своему желанию в виде буквы «Л». Можете сделать круглый, треугольный или прямой вырез. Пройму сделайте низкую или высокую, в зависимости от вашей фигуры. На вершине буквы «Л» (на пересечении проймы и выреза) закрепите бретели.
Таким же образом постройте выкройку спинки. Отличие спинки от переда в том, что верхняя часть будет просто горизонтально срезана, по высоте пересечения линии проймы с боковой линией.
Вырежьте детали выкройки сарафана и приступайте к шитью.
Подмостки – это площадки возле береговой линии, как будто парящие над водой.
Обычно они деревянные и представляют собой продолжение садовой тропинки. На подмостки можно поставить деревянную беседку или скамейку, сидя на которой приятно ловить рыбу или просто любоваться прудом. А если в водоеме можно купаться, то более удобного места для ныряний не найти.
Проектирование и установка подмостков – интересная и творческая задача:
1. Сначала устанавливаются сваи, их можно сделать из металлической трубы (100х100 мм),
2. Затем к ним крепится деревянная или металлическая рама, к которой уже крепятся доски настила. Между ними для вентиляции древесины оставляются зазоры.
3. На берегу через каждые три метра, сооружаются фундаментные столбы, на которые опирается настил. Они должны возвышаться над водой на 20-30 см., учитывая то, что в периоды дождей уровень воды повышается. По мнению специалистов, подмостки делаются не больше 25% от зеркала воды.
